Đường tròn tâm \(I\left(-3;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

\(\overrightarrow{AI}=\left(1;-1\right)\)

Theo t/c đường tròn, do A là trung điểm MN \(\Rightarrow IA\perp MN\Rightarrow IA\perp d\)

\(\Rightarrow d\) nhận \(\overrightarrow{AI}\) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1\left(x+4\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y+6=0\)

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C) có  tâm I( -1; 3).

Do đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB nên    I M    ⊥ Δ ( quan hệ vuông góc đường kính và dây cung).

Đường thẳng ∆: đi qua  M(-2; 1) và nhận   M I → (    1   ;     2 )  làm VTPT nên có phương trình là :

1. (x + 2) +  2(y – 1) = 0 hay x+ 2y  = 0

Đề của sở hả bạn ? ( hình như bài này còn cách khác nữa ...) 

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=4\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}\) (chà, rắc rối rồi, do \(\dfrac{IA}{R}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) nên tam giác IMN không bao giờ có thể vuông được)

Ta có: \(S_{\Delta IMN}=\dfrac{1}{2}IM.IN.sin\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow S_{IMN-max}\) khi \(sin\widehat{MIN}\) đạt max

Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\Rightarrow IH\le IA\)

Do vai trò M, N là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử M, H nằm cùng phía so với A

\(cos\widehat{MIH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{MIH}\ge69^018'\) (do \(0< \widehat{MIH}\le90^0\) nên  \(cos\widehat{MIH}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIH}\))

\(\Rightarrow\widehat{MIN}=2\widehat{MIH}>90^0\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{MIN}_{max}\) khi \(\widehat{MIN}_{min}\)

Lại có: \(\widehat{MIN}=180^0-2.\widehat{IMH}\Rightarrow\widehat{MIN}_{min}\) khi \(\widehat{IMH}_{max}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) (\(0\le\widehat{IMH}\le90^0\) nên \(sin\widehat{IMH}\) và \(\widehat{IMH}\) đồng biến)

\(sin\widehat{IMH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) khi H trùng A

Hay \(S_{\Delta IMN-max}\) khi H trùng A \(\Leftrightarrow d\perp IA\)

\(\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1\left(x-2\right)-y=0\Leftrightarrow x-y-2=0\)

Đáp án D

Gọi d  là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:

- Đường tròn (C₁) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1

  Đường tròn (C₂) : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3

- Nếu d cắt  (C₁) tại A :

- Nếu d cắt (C₂)  tại B:

- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)

- Ta có :

Đường tròn tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=5\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(1;-2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{5}< R\)

\(\Rightarrow\) M nằm trong đường tròn

Do M là trung điểm AB, theo tính chất đường tròn \(\Rightarrow IM\perp AB\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)-2\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x-2y-8=0\)

a) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O.

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :

M′ = (2; −3), phương trình của d′: 3x – y – 9 = 0, phương trình của đường tròn (C′): x 2   +   y 2   −   2 x   +   6 y   +   6   =   0 .

b) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .

Vì I là trung điểm của MM' nên M′ = (4;1)

Vì d' song song với d nên d' có phương trình 3x – y + C = 0.

Lấy một điểm trên d, chẳng hạn N(0; 9).

Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N′(2; −5).

Vì N' thuộc d nên ta có 3.2 − (−5) + C = 0. Từ đó suy ra C = -11.

Vậy phương trình của d' là 3x – y – 11 = 0.

Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(−1; 3),

bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J′(3; 1).

Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là x   −   3 2   +   y   −   1 2   =   4 .